A pergunta que me foi perguntado com mais freqüência é: "Por que nós estudamos isso?" (Ou sua variante, "este vai ser sobre o exame?"). Na verdade, não é imediatamente óbvio como algumas das coisas que estamos estudando serão de alguma utilidade para os alunos. Embora alguns deles eventualmente utilizar no cálculo de seu trabalho em física, química, ou a economia, quase nenhuma dessas pessoas nunca vai precisar provar nada a respeito do cálculo. Eles estão dispostos a confiar na matemática pura, cujo trabalho é certificar a confiabilidade dos teoremas. Por que, então, nós estudamos Epsilons e deltas, e todos estes outros conceitos abstratos de provas?
Bem, o cálculo não é apenas um curso de formação profissional. Em parte, os alunos devem estudar cálculo para as mesmas razões que eles estudam Darwin, Marx, Voltaire ou Dostoievski: Estas idéias são uma parte fundamental da nossa cultura, essas idéias deram forma como percebemos o mundo e como percebemos o nosso lugar no mundo. Para entender como isto é verdade para o cálculo, devemos colocar o cálculo em uma perspectiva histórica, deve contrastar o mundo antes do cálculo com o mundo depois do cálculo. Nós Provavelmente devemos colocar mais história em nosso cálculo. (Na verdade, há um movimento crescente entre os professores de matemática para fazer exatamente isso.)
Os primeiros a fazerem o uso da matemática foram os comerciantes usando a aritmética do comércio: Se uma vaca vale três cabras, quanto custa 4 vacas? Geometria cresceu a partir do levantamento dos imóveis. E assim por diante; matemática era útil e cresceu.
Os antigos gregos fizeram uma grande dose de pensamento inteligente, mas muito poucas experiências, o que levou a alguns erros. Por exemplo, Aristóteles observou que uma pedra cai mais rápido do que uma pena, e concluiu que os objetos mais pesados caem mais rápido do que objetos mais leves. O pensamento de Aristóteles persistiu durante séculos, até a descoberta da resistência do ar.
A parte mais dramática da história do cálculo vem com a astronomia. As pessoas estudaram e tentaram prever as coisas que estavam fora do alcance humano e aparentemente fora do alcance do ser humano.
A Terra era o centro do universo. Cada dia, o sol se levantou no leste e se pôs no oeste. Cada noite, as constelações de estrelas nasceu no leste e se põem no oeste. As estrelas foram fixados em posição, em relação ao outro, exceto por um punhado de "vagabundos", ou "planetas". Os movimentos desses planetas foram extremamente irregular e complicada. Astrólogos manteve anotações cuidadosas sobre os movimentos dos planetas, de modo a prever seus movimentos futuros e (espero) os seus efeitos em seres humanos.
Em 1543, Copérnico publicou suas observações de que os movimentos dos planetas podia ser explicado de forma mais simples, supondo que os planetas se movem em torno do Sol, em vez de em torno da Terra - e que a terra se move ao redor do sol também, é apenas um outro planeta. Isso faz com que as órbitas dos planetas aproximadamente circular. A igreja não gostou desta ideia, que fez a terra menos importante e diminuiu a partir da idéia do homem como a criação de centrais de Deus.
Durante os anos 1580-1597, Brahe e Kepler, seu assistente fez muitas observações precisas dos planetas. Com base nessas observações, em 1596, Kepler publicou seu refinamento das idéias de Copérnico. Kepler mostrou que os movimentos dos planetas são descritos com mais precisão por elipses e não círculos. Kepler deu três "leis" que descreve, de forma muito simples e precisa, muitos aspectos do movimento planetário: as órbitas são elipses, com o sol em um dos focos a velocidade de um planeta varia de tal forma que a área varrida pela linha entre o planeta eo Sol está aumentando em uma taxa constante o quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo da distância média do planeta a partir do sol.
As poucas pessoas que entendiam geometria podia ver que Kepler tinha descoberto algumas verdades básicas. Isso levou a uma declaração anterior de Platão: ". Deus eternamente geometriza".
Em 1609 Galileo teve uma "luneta" - um brinquedo popular na época - e usou-a como um telescópio para observar os céus. Ele descobriu muitos corpos celestes que não poderia ser visto a olho nu. As luas de Júpiter foi claramente em torno de Júpiter, o que deu uma evidência muito clara e simples de apoio idéia de Copérnico de que nem tudo gira em torno da Terra. A igreja puniu Galileo, mas suas idéias, uma vez lançado ao mundo, não poderia ser interrompido.
Em 1609 Galileo teve uma "luneta" - um brinquedo popular na época - e usou-a como um telescópio para observar os céus. Ele descobriu muitos corpos celestes que não poderia ser visto a olho nu. As luas de Júpiter foi claramente em torno de Júpiter, o que deu uma evidência muito clara e simples de apoio idéia de Copérnico de que nem tudo gira em torno da Terra. A igreja puniu Galileo, mas suas idéias, uma vez lançado ao mundo, não poderia ser interrompido.
Galileo começou também começou a fazer experimentos para medir os efeitos da gravidade; suas idéias sobre esse assunto mais tarde influenciou a astronomia também. Ele percebeu que Aristóteles estava errado - de que os objetos mais pesados não caem mais rápido que os leves. Ele estabeleceu esta fazendo medições precisas das vezes que teve bolas de tamanhos diferentes para rolar em rampas.
Algumas das idéias mais rudimentares de cálculo tinha sido ao redor por séculos, mas levou Newton e Leibniz para colocar as idéias em conjunto. Independentemente um do outro, na mesma época, os dois homens descobriram o teorema fundamental do Cálculo, que afirma que integrais (áreas) são a mesma coisa que antiderivadas. Apesar de Newton e Leibniz tiveram crédito em geral, para "inventar" o cálculo, Newton foi muito mais longe em suas aplicações. Um derivativo é uma taxa de mudança, e tudo no mundo muda com o passar do tempo, assim que derivativos podem ser muito úteis. Em 1687 Newton publicou suas "três leis do movimento", agora conhecida como "a mecânica newtoniana"; essas leis se tornou a base da física.
Se nenhuma força (não a gravidade ou mesmo o atrito) está atuando em um objeto, ele continuará a se mover com velocidade constante - a velocidade, ou seja, constante e direção. (Em particular, se ele está parado, ele vai continuar assim). A força que age sobre um objeto é igual à sua massa sua aceleração. As forças que dois objectos exercem uns sobre os outros devem ser iguais em magnitude e opostas em direção.
Para explicar o movimento planetário, as leis fundamentais de Newton deve ser combinada com a lei da gravitação: a atração gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto das massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
As leis de Newton eram mais simples e intuitivas como as Kepler, mas ele produziu as leis de Kepler como corolários, ou seja, como conseqüências lógicas.
O universo de Newton é por vezes descrita como um "universo mecânico", talvez mesmo previsível e determinístico. Podemos prever como bolas de bilhar vai passar depois de uma colisão. Em princípio, podemos prever tudo da mesma forma, um planeta age um pouco como uma bola de bilhar. (Nossas experiências cotidianas são menos previsíveis, porque envolvem trilhões de trilhões de minúsculas bolas de bilhar pouco que chamamos de "átomos". Mas, todos os átomos em um planeta ficar perto uns dos outros devido à gravidade, e se combinam para agir muito como um bilhar grande bola, assim os planetas são mais previsíveis).
Para explicar o movimento planetário, as leis fundamentais de Newton deve ser combinada com a lei da gravitação: a atração gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto das massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
As leis de Newton eram mais simples e intuitivas como as Kepler, mas ele produziu as leis de Kepler como corolários, ou seja, como conseqüências lógicas.
O universo de Newton é por vezes descrita como um "universo mecânico", talvez mesmo previsível e determinístico. Podemos prever como bolas de bilhar vai passar depois de uma colisão. Em princípio, podemos prever tudo da mesma forma, um planeta age um pouco como uma bola de bilhar. (Nossas experiências cotidianas são menos previsíveis, porque envolvem trilhões de trilhões de minúsculas bolas de bilhar pouco que chamamos de "átomos". Mas, todos os átomos em um planeta ficar perto uns dos outros devido à gravidade, e se combinam para agir muito como um bilhar grande bola, assim os planetas são mais previsíveis).
De repente, os movimentos complicados do céu foram reveladas como conseqüências de princípios matemáticos muito simples. Isso deu aos homens uma nova confiança na sua capacidade de compreender - e, finalmente, para o controle - o mundo em torno deles. Já não eram meras disciplinas de forças incompreensíveis. As obras de Kepler e Newton não mudou apenas a astronomia, mas a forma como as pessoas viam sua relação com o universo. Uma nova era começou, vulgarmente conhecida como a "Idade das Luzes"; filósofos como Voltaire e Rousseau escreveram sobre o poder da razão e da dignidade dos seres humanos. Certamente esta nova ótica, contribuiu para portátil de relógios precisos, desenvolvidos ao longo dos próximos dois séculos, aumentando a viabilidade de navegação de longo curso e, portanto, o comércio exterior o motor a vapor, desenvolvida ao longo do próximo século, tornando possível a revolução industrial a derrubada do "direito divino" monarquias, na América (1776) e França (1789).
Talvez a maior descoberta de Newton, no entanto, foi este fato sobre o conhecimento em geral, que é referido com menor frequência: O fato de uma parte da explicação pode ser útil e significativo. As leis do movimento de Newton não explica totalmente a gravidade. Newton descreveu o quanto a gravidade não existe, com exatidão matemática, mas ele não explicou o que faz a gravidade. Há algum tipo de "fios invisíveis" conectando cada dois objetos no universo e puxá-los para o outro? Aparentemente não. Como funciona a gravidade é entender um pouco melhor hoje, mas Newton não teve nenhum entendimento do que seja. Então, quando Newton formulou sua lei da gravidade, ele foi também implicitamente a formulação de um novo princípio de epistemologia (isto é, como sabemos as coisas): não precisamos de ter uma explicação completa de algo, a fim de dispor de informações (previsão) úteis sobre ele. Este princípio revolucionou a ciência e tecnologia.
Esse princípio pode ser visto no próprio cálculo. Newton e Leibniz souberam dar corretamente as derivadas de funções mais comuns, mas eles não têm uma definição precisa de "derivativos", que realmente não poderia provar os teoremas que eles estavam usando. Suas descrições não foram explicações. Eles explicaram um derivativo como quociente de dois infinitésimos (isto é, infinitamente pequeno, mas números diferentes de zero). Essa explicação realmente não faz muito sentido para os matemáticos da época, mas era claro que os métodos computacionais de Newton e Leibniz estavam recebendo as respostas certas, independentemente das suas explicações. Ao longo dos próximos cem anos, outros matemáticos - principalmente Weierstrass e Cauchy - forneceu explicações melhor (Epsilons e deltas) para os mesmos métodos computacionais.
Pode ser interessante notar que, em 1960, lógico Abraham Robinson finalmente encontrou uma maneira de dar sentido aos infinitesimais. Isso levou a um novo ramo da matemática, chamada análise fora do padrão. Seus devotos afirmam que ela dá o melhor intuição para o cálculo, equações diferenciais, e assuntos relacionados, que produz o mesmo tipo de conhecimentos que Newton e Leibniz originalmente tinha em mente. Em última análise, a maior diferença entre a abordagem infinitesimal e epsilon-delta abordagem está em que tipo de linguagem que você usa para esconder os quantificadores: Os números epsilon e delta são "normais porte", no sentido de que eles não são infinitamente pequenas. São relativamente pequena, por exemplo, números como um bilionésimo. Nós olhamos para o que acontece quando esses números variam e torná-los menores. Com efeito, estes números estão mudando, portanto não há movimento ou ação em nossa descrição. Nós podemos fazer estes números menor que qualquer número positivo ordinário que foi escolhida antecipadamente.
A abordagem de Newton, Leibniz e Robinson envolve números que não precisam de mudar, porque os números são infinitesimais - ou seja, eles já estão menores do que qualquer número positivo ordinário. Mas uma das modernas formas de representar um infinitesimal é com uma seqüência de números ordinários que mantêm cada vez menores à medida que vamos mais longe na seqüência.
Nós escolhemos uma notação ou terminologia que esconde a informação que estamos de momento não preocupa, e se concentra a nossa atenção sobre os aspectos que atualmente querem variar e estudo. A abordagem epsilon-delta e a abordagem infinitesimal diferem apenas ligeiramente em como realizar essa supressão.
Um livro de cálculo da faculdade com base na abordagem infintesimal foi publicado por Keisler em 1986. No entanto, ele não pegou. Eu suspeito que a razão pela qual não pegou foi simplesmente porque as idéias que foram muito estranho para a maioria dos professores de cálculo. Na verdade, a maioria das idéias desconhecidas foram relegados a um apêndice, o novo material que era realmente fundamental para que o livro foi muito pequena.
Nós escolhemos uma notação ou terminologia que esconde a informação que estamos de momento não preocupa, e se concentra a nossa atenção sobre os aspectos que atualmente querem variar e estudo. A abordagem epsilon-delta e a abordagem infinitesimal diferem apenas ligeiramente em como realizar essa supressão.
Um livro de cálculo da faculdade com base na abordagem infintesimal foi publicado por Keisler em 1986. No entanto, ele não pegou. Eu suspeito que a razão pela qual não pegou foi simplesmente porque as idéias que foram muito estranho para a maioria dos professores de cálculo. Na verdade, a maioria das idéias desconhecidas foram relegados a um apêndice, o novo material que era realmente fundamental para que o livro foi muito pequena.
No entanto, um outro capítulo ainda está se desenrolando na interação entre a matemática e a astronomia: Estamos trabalhando o que é a forma do universo. Para entender essa questão, vamos primeiro analisar a forma do planeta. Em sua superfície, a Terra parece predominantemente plano, com algumas variações locais, tais como montanhas. Mas se você saiu em uma direção, viajando no que parecia ser uma linha reta, às vezes a pé e de barco, às vezes, você pode eventualmente chegar de volta onde você começou, porque a terra é redonda. Magalhães confirmou esta navegando ao redor do mundo, e os astronautas confirmou esta com fotografias na década de 1960. Mas o raio da Terra é grande (4.000 milhas), e assim a curvatura da superfície bidimensional é muito pequena para ser evidente para um observador casual.
De forma análoga, o nosso universo inteiro, o que percebemos como tridimensional, podem ter uma ligeira curvatura, esta questão foi levantada algumas centenas de anos atrás, quando Gauss e Riemann veio a entender geometria não-euclidiana. Se você andar em um foguete e viajar no que parece ser uma linha reta, você vai finalmente voltar para onde você começou? A curvatura do universo físico é muito pequeno para ser detectado por nenhum instrumento ainda temos planejado. Os astrônomos esperam detectá-lo, e deduzir a forma do Universo, com telescópios mais potentes que estão sendo construídas até agora.
Compreensão humana do universo tem aumentado gradualmente ao longo dos séculos. Um dos eventos mais dramático foi no final do século 19, quando Georg Cantor "domou" o infinito e levou-o longe dos teólogos, tornando-se um conceito secular com a sua própria aritmética. Podemos ainda ter um uso para os teólogos, desde que nós não entendemos ainda o espírito humano, mas o infinito não é mais uma metáfora boa para aquilo que transcende nossa experiência cotidiana.
Cantor estava estudando a convergência da série de Fourier e foi levado a considerar a dimensão relativa de determinados subconjuntos da linha do infinito real, matemáticos anteriores haviam sido perplexo pelo fato de um conjunto infinito poderia ter "o mesmo número de elementos" como um subconjunto adequado. Por exemplo, há uma correspondência um-para-um entre os números naturais:
1, 2, 3, 4, 5, ...
e os números até natural
2, 4, 6, 8, 10, ...
Mas isso não impediu Cantor. Ele disse que dois conjuntos "têm a mesma cardinalidade" se existe um-para-um entre eles uma correspondência, por exemplo, os dois conjuntos acima têm a mesma cardinalidade. Ele mostrou que é possível organizar os números racionais em uma tabela (para simplificar, vamos considerar apenas os positivos números racionais):
1 / 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 ...
2 / 1 2 / 2 2 / 3 2 / 4 ...
3 / 1 3 / 2 3 / 3 3 / 4 ...
4 / 1 4 / 2 4 / 3 4 / 4 ...
... ... ... ... ...
01/01, 02/01, 01/02, 03/01, 02/02, 01/03, 04/01, 03/02, 02/03, 01/04, 05/01, ...
Isso mostra que o conjunto de todos os pares ordenados de inteiros positivos é contável - isto é, podem ser organizadas em uma lista, que tem a mesma cardinalidade que o conjunto de números inteiros positivos. Agora, execute a lista, riscando qualquer fração que é uma repetição de uma fração anteriores (por exemplo, 02/02 é uma repetição de 01/01). Isso deixa um pouco "mais curto", mas ainda infinito) lista:
01/01, 02/01, 01/02, 03/01, 01/03, 04/01, 03/02, 02/03, 01/04, 05/01, ...
contendo cada número racional positivo exatamente uma vez. Assim, o conjunto dos números racionais positivos é contável. Um argumento semelhante com um complicado diagrama mostra um pouco mais que o conjunto de todos os números racionais também é contável. No entanto, por um argumento diferente (não apresentados aqui), Cantor mostrou que os números reais não pode ser colocado em uma lista - assim, os números reais são incontáveis. Cantor mostrou que existem grandes conjuntos de pares (por exemplo, o conjunto de todos os subconjuntos de reais), na verdade, existem infinitos infinitos diferentes.
Como técnicas da prova melhorou gradualmente a matemática se tornou mais rigorosa, mais confiável, mais seguro. Hoje, os nossos padrões de rigor são extremamente elevados, e percebemos a matemática como uma coleção de "verdades imortais", que chegaram a razão pura, nem mesmo dependente observações físicas. Temos desenvolvido uma linguagem matemática que nos permite formular cada passo do nosso raciocínio, com certeza absoluta, então a conclusão é certa também. No entanto, deve-se admitir que a matemática moderna tornou-se independente do mundo físico. Como disse Einstein:
"Tanto quanto as leis da matemática se referem à realidade, elas não são certas, e na medida em que são certas, elas não se referem à realidade."
Por exemplo, use um lápis para desenhar um segmento de linha em um pedaço de papel, talvez uma polegada de comprimento. Rótulo uma extremidade que "0" e do outro lado dele "1" e um rótulo mais alguns pontos no meio. O segmento de linha representa o intervalo [0,1], que (pelo menos, em nossas mentes) tem muitos pontos. Mas em que sentido esse conjunto incontável existe? Há apenas grafite muitas moléculas finitamente marcando o papel, e há apenas um número finito (contável ou talvez muitos) átomos no universo físico em que vivemos. Um conjunto incontável de pontos é fácil imaginar matematicamente, mas não existe em qualquer parte do universo físico. É apenas uma invenção da nossa imaginação?
Pode ser a nossa imaginação, mas "simplesmente" não é a palavra certa. Nosso sistema de numeração puramente mental revelou-se útil para fins práticos no mundo real. Tem desde o nosso melhor explicação até agora para quantidades numéricas. Essa explicação fez rádio possível, televisão, e muitas outras conquistas tecnológicas --- mesmo uma viagem da Terra à Lua e voltar. Evidentemente, estamos fazendo a coisa certa; matemática não pode ser descartada como um mero sonho.
Por exemplo, use um lápis para desenhar um segmento de linha em um pedaço de papel, talvez uma polegada de comprimento. Rótulo uma extremidade que "0" e do outro lado dele "1" e um rótulo mais alguns pontos no meio. O segmento de linha representa o intervalo [0,1], que (pelo menos, em nossas mentes) tem muitos pontos. Mas em que sentido esse conjunto incontável existe? Há apenas grafite muitas moléculas finitamente marcando o papel, e há apenas um número finito (contável ou talvez muitos) átomos no universo físico em que vivemos. Um conjunto incontável de pontos é fácil imaginar matematicamente, mas não existe em qualquer parte do universo físico. É apenas uma invenção da nossa imaginação?
Pode ser a nossa imaginação, mas "simplesmente" não é a palavra certa. Nosso sistema de numeração puramente mental revelou-se útil para fins práticos no mundo real. Tem desde o nosso melhor explicação até agora para quantidades numéricas. Essa explicação fez rádio possível, televisão, e muitas outras conquistas tecnológicas --- mesmo uma viagem da Terra à Lua e voltar. Evidentemente, estamos fazendo a coisa certa; matemática não pode ser descartada como um mero sonho.
A "Era do Iluminismo" pode ter atingido sua maior altura no início do século 20, quando Hilbert tentou colocar toda a matemática em uma empresa e fundação formal. Que a idade pode ter terminado em 1930, quando Gödel demonstrou que o programa de Hilbert não pode ser realizado; Gödel descobriu que mesmo a linguagem da matemática tem certas limitações inerentes. Gödel provou que, em certo sentido, algumas coisas não podem ser provadas. Mesmo um matemático precisa aceitar algumas coisas sobre a fé ou aprender a viver com a incerteza.
Algumas das idéias desenvolvidas neste trabalho são baseados no livro de Matemática: A Perda da Certeza , de Morris Kline. Eu gostava de ler esse livro muito, mas devo mencionar que não concordava com o seu término. Kline sugere que a descoberta de Gödel levou a um descontentamento geral com a matemática, a desilusão que se espalhou através de nossa cultura (assim como os sucessos anteriores de Newton spread). Eu discordo do pessimismo Kline. Matemática pode ter algumas limitações, mas na nossa experiência humana que raramente topar essas limitações. O teorema de Gödel em nada invalida Newton, Cantor, ou a viagem de lua. Matemática continua a ser um dispositivo milagroso para ver o mundo com mais clareza.
