Uma concepção para o ensino médio

A educação básica tem por finalidade, segundo o artigo 22 da LDB, “desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores”. Esta última finalidade deve ser desenvolvida de maneira precípua pelo ensino médio, uma vez que entre as suas finalidades específicas incluem-se “a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando”, a serem desenvolvidas por um currículo, que destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do significado da ciência, das letras e das artes; o processo histórico de transformação da sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de comunicação, acesso ao conhecimento e exercício da cidadania.

A Resolução nº 4, de 16 de agosto de 2006, do Conselho Nacional de Educação (CNE), determina a obrigatoriedade do ensino de filosofia e sociologia para o ensino médio. A resolução também estabelece que os sistemas de ensino terão até agosto de 2007 para fixar as medidas necessárias para a inclusão das disciplinas no currículo. O Decreto 5154/2004 estabelece as diretrizes para o Ensino Médio Integrado ao Ensino Profissionalizante.

O Parecer da Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional de Educação nº 15/98 e a respectiva Resolução nº 3/98 vêm dar forma às diretrizes curriculares para o ensino médio como indicações para um acordo de ações. Para isso, apresenta princípios axiológicos, orientadores de pensamentos e condutas, bem como princípios pedagógicos, com vistas à construção dos projetos pedagógicos pelos sistemas e instituições de ensino.

Nesse sentido, o ensino médio deve ser planejado em consonância com as características sociais, culturais e cognitivas do sujeito humano referencial desta última etapa da Educação Básica: adolescentes, jovens e adultos. Cada um desses tempos de vida tem a sua singularidade, como síntese do desenvolvimento biológico e da experiência social condicionada historicamente. Por outro lado, se a construção do conhecimento científico, tecnológico e cultural étambém um processo sócio-histórico, o ensino médio pode configurar-se como um momento em que necessidades, interesses, curiosidades e saberes diversos confrontam-se com os saberes sistematizados, produzindo aprendizagens socialmente e subjetivamente significativas. Num processo educativo centrado no sujeito, o ensino médio deve abranger, portanto, todas as dimensões da vida, possibilitando o desenvolvimento pleno das potencialidades do educando.

No atual estágio de construção do conhecimento pela humanidade, a dicotomia entre conhecimento geral e específico, entre ciência e técnica, ou mesmo a visão de tecnologia como mera aplicação da ciência deve ser superada, de tal forma que a escola incorpore a cultura técnica e a cultura geral na formação plena dos sujeitos e na produção contínua de conhecimentos. As relações nas unidades escolares, por sua vez, expressam a contradição entre o que a sociedade conserva e revoluciona. Essas relações não podem ser ignoradas, mas devem ser permanentemente recriadas, a partir de novas relações e de novas construções coletivas, no âmbito do movimento sócio-econômico e político da sociedade.

Com este referencial, propomos discutir as possibilidades de se repensar o Ensino Médio na perspectiva interdisciplinar. Consideramos importante que cada escola faça um retrato de si mesma, dos sujeitos que afazem viva e do meio social em que se insere, no sentido de compreender sua própria cultura, identificando dimensões da realidade motivadoras de uma proposta curricular coerente com os interesses e as necessidades de seus alunos. Afinal, a escola faz parte do conjunto social em que está inserida e deve se comprometer, também, com seus projetos. Sem nunca esgotar-se em si mesma, a dimensão local pode ser uma dimensão importante do planejamento educacional, integrado a um projeto social comprometido com a melhoria da qualidade de vida de toda a população.

Fonte: Secretaria da Educação Básica.
http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=13561

Os Números que Governam o Mundo

     Os números representam um papel vital não só na matemática, como na ciência de um modo geral e na nossa vida diária. Vivemos cercados de números; horários, tabelas, gráficos, preços, juros, impostos, velocidades, distâncias, temperaturas, resultados de jogos, etc...
     A maior parte das quantidades que estudaremos neste curso (áreas, volumes, taxas de variação, velocidades...) são medidas por meio de números reais e nesse sentido podemos dizer que o Cálculo se baseia no sistema dos números reais.
     Um real é qualquer número que pode ser representado na forma decimal. O conjunto de todos os números reais é denotado pelo símbolo  .
     O conjunto dos números reais contém alguns subconjuntos de fundamental importância, que foram surgindo a partir das necessidades do homem de resolver problemas práticos. Assim, o conjunto dos números {1,2,3,...}, representado pelo símbolo N* , surgiu da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operação de "fazer corresponder". Muito mais tarde, a este conjunto, foi acrescentado o número zero (veja a próxima seção). Hoje, chamamos o conjunto {0, 1, 2, 3, ...} de conjunto dos números naturais e o representamos pelo símbolo N (veja a seção "O conjunto dos Números Naturais").
     A idéia de "correspondência" é uma das idéias básicas de toda a matemática. Quando contamos, isto é, apontamos para um objeto de uma coleção qualquer e dizemos um, apontamos para o seguinte e dizemos dois, e assim por diante, estamos estabelecendo uma correspondência, um para um, entre cada item desta coleção de objetos e um subconjunto dos números naturais. Assim, cada número representa a propriedade comum existente entre dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos e contar significa estabelecer uma correspondência, um para um, entre cada item de uma coleção qualquer de objetos e um subconjunto dos números naturais.
     A maneira mais simples para representar a idéia de número é a de atribuir a cada um deles, um símbolo que represente esta idéia ou propriedade comum.
     Os romanos, por exemplo, usavam os símbolos I, V, X, D, C, L e umas regras complicadas de repetições e justaposições para representar os números. Por estas regras o número 15 era escrito como XV, 171 como CLXXI e 1400 como MCD. É fácil perceber que um sistema de numeração deste tipo, tem o grave inconveniente de não se poder ir muito longe, pois cada mudança de classe exigiria, pelo menos, a invenção de um novo símbolo e necessitaríamos de uma memória prodigiosa para sabê-los todos de cor!(Você é capaz de lembrar como se escreve o número 9052 no sistema de numeração romano?)
Se escrever estes números não é uma tarefa muito simples, já imaginou o que seria então "fazer contas" usando-se este sistema?!!

Referência Bibiliografica:
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/index.htm

Você sabe qual é o maior número primo conhecido?

Antes de o conhecermos importa recordarmos a definição de número primo: Número primo é um número natural maior do que 1 cujos únicos divisores naturais são 1 e o próprio número. Por exemplo, o número 3 é um número primo pois os seus únicos divisores naturais são 1 e 3. Uma definição alternativa é que o número primo é todo número que possui somente quatro divisores inteiros. Por exemplo, o 2 possui como divisores {1, 2, -1, -2}, totalizando quatro divisores inteiros, sendo então um número primo. Com essa definição,
excluímos o 1, pois esse possui como divisores apenas 1 e -1, sendo insuficiente pela definição. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é composto. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos. Voltando agora à questão inicial, o maior número primo conhecido é 2 elevado a 32.582.657 menos 1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e a sua equipa. Este número primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em Dezembro de 2005.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural pode ser escrito de forma única (não importando a ordem) como um produto de números primos (chamados  factores primos): este processo chama-se decomposição em factores primos.
Os primeiros números primos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...
Exemplos de decomposições:
• 4 = 2 × 2 
• 6 = 2 × 3 
• 8 = 2 × 2 × 2 
• 9 = 3 × 3 
• 10 = 2 × 5 
• 472342734872390487 = 3 × 7 × 827 × 978491 × 27795571

UMA HISTÓRIA DE DETETIVE: O PROFESSOR FORLANI E O TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA

Escrito por Robinson Antão da Cruz Filho

Na década de 80, no Curso Universitário, o Professor Forlani dava aulas de Geometria muitíssimo concorridas. Em suas aulas nunca havia menos de 180 alunos. Por falta de espaço na sala muitos assistiam suas aulas pela janela. Os desenhos que ele fazia, à mão livre, eram de uma precisão fantástica: ele parecia ter um compasso nas mãos!
Engenheiro Civil por formação, era um professor de primeira linha. Justificava com demonstrações todos os resultados de Geometria que apresentava. Gostava de elaborar um roteiro para recriar a demonstração. Eram como histórias de detetive: um crime, um conjunto de pistas, muito raciocínio dedutivo e, finalmente, descobre-se o criminoso: foi o mordomo!
Lembrando-me assim do Professor Forlani apresento como um desafio para a argúcia do leitor o Teorema da Bissetriz Externa.
Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intersecta a reta que contém o lado oposto então ela divide este lado oposto externamente em segmentos (subtrativos) cuja razão é igual à razão dos lados adjacentes. 

Em outros termos, no triângulo ABC da figura acima, seja AD a bissetriz do ângulo externo A. Com as anotações da figura,

x / y = c / b.

Este é o Teorema da Bissetriz Externa.
À maneira do Prof. Forlani, fornecemos algumas pistas para a solução do caso.
1^a Pista Dados dois triângulos com a mesma altura, a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases. 

2^a Pista Qualquer ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados desse ângulo. 

3^a Pista Na figura abaixo, examine os dois triângulos que têm x e y como bases e têm a mesma altura. 

Com estas pistas poderá o estudante demonstrar o Teorema da Bissetriz Externa.
Já faziam alguns anos que morava em São Carlos quando recebi a notícia do falecimento do Professor Forlani. Dedico este pequeno texto à sua memória. Suas lições não se resumiam à Geometria: era um filósofo. Assim como Sócrates, não precisava de uma sala de aula para ensinar. Onde ele estiver, deve estar ensinando! Ao Professor Forlani meu muito obrigado.

PS: deixo mais um enigma para o estudante, pois a um bom detetive não escapa nenhum detalhe. Por que o enunciado do Teorema da Bissetriz Externa começa assim: Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intersecta... em vez de simplesmente dizerA bissetriz de um ângulo externo de um triângulo divide o lado oposto...
Apresentado para publicação em 21/11/2002 por Robinson Antão da Cruz Filho, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar. As figuras foram construídas pelo autor. Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. 
Publicado em 14/04/2003. Atualizado em 14/04/2003.

HOTEL GEORG CANTOR

O cansado viajante vê o comprido hotel à beira da estrada e se aproxima com intenção de pedir pousada. Não se intimida com o aviso "Estamos lotados". Eles devem ter algum quarto, pensa consigo mesmo. 
- Sim, temos vaga, responde-lhe o recepcionista, olhando de soslaio para o gerente. 
- Como, ironiza o viajante, têm vagas e colocam o aviso "Estamos lotados" ?!! 
- Perfeitamente, intervém polidamente o gerente, estamos lotados e temos vagas. O Sr. ficará no quarto n^o 1. Assine o livro de hospedagem, por favor. 
O viajante hesita em iniciar uma discussão. Enquanto assina o livro ouve o gerente falar ao microfone: 
- Srs. hóspedes do Hotel Georg Cantor, acaba de chegar mais um viajante. Conforme o combinado, cada um deve deixar seu quarto e ocupar o quarto consecutivo. 
Vendo que o viajante o olha interrogativamente, o gerente lhe explica, com infinita paciência: 
- Uma das regras deste hotel, que o Sr. aceitou quando assinou o livro de hospedagem, é que sempre que chega um novo hóspede o ocupante do quarto  deve mudar-se para o quarto . 
- Sim, observa o viajante, mas o que faz o hóspede do último quarto? 
- Não temos um último quarto, replica o gerente. O Hotel Georg Cantor tem um número infinito de quartos. 
Sentindo-se extenuado, o viajante resolve ignorar o enigma.
Assim prossegue a rotina do Hotel Georg Cantor, rotina esta só quebrada quando chega à estação próxima o trem infinito. Uma quantidade infinita de viajantes acorre ao hotel em busca de hospedagem. O recepcionista avisa pelo microfone: 
- Srs. hóspedes do Hotel Georg Cantor, acaba de chegar um número infinito de viajantes. Conforme o combinado, o hóspede do quarto  deve mudar-se para o quarto  ... 
O recepcionista, percebendo que o gerente lhe faz um sinal, continua: 
- ... ou melhor, o hóspede do quarto  deve mudar-se para o quarto . Os novos hóspedes ocuparão os quartos. Os quartos  ficarão vazios, assim teremos sossego por algum tempo.
PS Soube há pouco tempo que o Hotel Georg Cantor havia mudado as regras. Os hóspedes, revoltados com as constantes mudanças de quarto, ameaçaram usar um estratagema para não pagar a conta. O hóspede do quarto deixaria na recepção uma nota promissória se comprometendo a pagar as contas do hóspede do quarto . O gerente ainda tentou salvar a situação. Pensou em cobrar diária de  do hóspede do quarto . "Como o hóspede do quarto  não se importará em passar para o quarto ", pensou o gerente. "E como

poderei pagar qualquer despesa de manutenção do hotel." 
Mas o contador o fez ver que não era bem assim. Sendo 20 a despesa diária de cada quarto, explicou, teríamos um deficit de  para o -ésimo quarto, do que resultaria um prejuízo diário total de 

Hoje o Hotel Georg Cantor só aceita um número infinito de hóspedes, nem um a mais.

Apresentado para publicação em 20/11/2001 por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. 
Fontes utilizadas: 
[1] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E., Morgado, A. C., A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, 1996, págs. 48 e 49. 
[2] O Hotel Hilbert. Vídeo da Open University e BBC, Inglaterra. Da coleção Por onde anda a Matemática, do MEC. 
[3] Lesser, L. M., Hotel Infinity. Humanistic Mathematics Network Journal, n 24, pág. 6. 
Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. Parcialmente utilizado o sistema Latex2html. ConfiraGeneral License Agreement and Lack of Warranty sobre condições de uso. 
Publicado no Hipertexto Pitágoras em 09/01/2002. Atualizado em 30/07/2002.


Retirado da seguinte página: http://www.dm.ufscar.br/hp/hp901/hp901002/hp901002.html

Matemática: A chance de acertar a Mega Sena

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
da Folha de S.Paulo

Entre as várias loterias organizadas pela Caixa Econômica Federal, a Mega Sena é certamente a preferida dos apostadores. Nela o apostador deve escolher o mínimo de seis e o máximo de 15 dezenas em um cartão numerado de 1 a 60. A premiação é paga para quem acerta quatro, cinco ou seis dezenas (quadra, quina e sena).

Quando escrevia este texto, o prêmio da Mega Sena estava acumulado em R$ 25 milhões, o que deve ter atraído um número ainda maior de apostadores. Você já se perguntou quais são as chances de acertar a sena com uma aposta simples de seis dezenas?

Os cálculos não são difíceis. Inicialmente, temos de descobrir qual é o total de agrupamentos que podem ser feitos, seis a seis, das 60 dezenas. Os agrupamentos, com repetições, de 60 dezenas, seis a seis, podem ser calculados pelo princípio fundamental da contagem através do produto 60.59.58.57.56.55. Ocorre que o resultado dessa conta registra vários agrupamentos iguais, que só se diferem pela ordem.

Por exemplo, um cartão com as dezenas 01-02-03-04-05-06 é contado 720 vezes _o total de possibilidades de trocas na ordem dessas seis dezenas. Qualquer um desses agrupamentos representa as mesmas seis dezenas apostadas e, portanto, para achar o número de cartões distintos com seis dezenas devemos dividir o resultado do produto calculado na primeira etapa por 720.

Ao fazer as contas, você encontrará algo em torno de 50 milhões, o que significa que sua chance de acertar a sena com uma aposta simples de seis dezenas é de 1 em aproximadamente 50 milhões. Para ter a dimensão do quão improvável é tal situação, vejamos um exemplo. O que você acha de jogar 25 vezes seguidas um dado e obter sempre o mesmo resultado? Essa probabilidade, que pode facilmente ser calculada por meio da conta (1/2)25, é aproximadamente igual a 1 em 33 milhões, ou seja, maior que a de acertar a sena.

Imaginemos agora que, em um dia de grande ventania, um chapéu lançado ao ar possa cair aleatoriamente em um ponto qualquer num raio de meio quilômetro. Considerando que o raio da nossa cabeça dificilmente ultrapassaria 10 cm, poderíamos estimar a probabilidade de o chapéu lançado ao ar cair novamente sobre a nossa cabeça pelo quociente da área de um círculo de 10 cm de raio pela área de alcance do chapéu, ou seja, um círculo de meio quilômetro de raio. Os cálculos indicam uma probabilidade de 1 em 25 milhões, novamente maior que as chances de 1 em 50 milhões de acertar a sena.

José Luiz Pastore Mello é professor da Faculdade de Educação da USP