UMA HISTÓRIA DE DETETIVE: O PROFESSOR FORLANI E O TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA

Escrito por Robinson Antão da Cruz Filho

Na década de 80, no Curso Universitário, o Professor Forlani dava aulas de Geometria muitíssimo concorridas. Em suas aulas nunca havia menos de 180 alunos. Por falta de espaço na sala muitos assistiam suas aulas pela janela. Os desenhos que ele fazia, à mão livre, eram de uma precisão fantástica: ele parecia ter um compasso nas mãos!
Engenheiro Civil por formação, era um professor de primeira linha. Justificava com demonstrações todos os resultados de Geometria que apresentava. Gostava de elaborar um roteiro para recriar a demonstração. Eram como histórias de detetive: um crime, um conjunto de pistas, muito raciocínio dedutivo e, finalmente, descobre-se o criminoso: foi o mordomo!
Lembrando-me assim do Professor Forlani apresento como um desafio para a argúcia do leitor o Teorema da Bissetriz Externa.
Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intersecta a reta que contém o lado oposto então ela divide este lado oposto externamente em segmentos (subtrativos) cuja razão é igual à razão dos lados adjacentes. 

Em outros termos, no triângulo ABC da figura acima, seja AD a bissetriz do ângulo externo A. Com as anotações da figura,

x / y = c / b.

Este é o Teorema da Bissetriz Externa.
À maneira do Prof. Forlani, fornecemos algumas pistas para a solução do caso.
1^a Pista Dados dois triângulos com a mesma altura, a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases. 

2^a Pista Qualquer ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados desse ângulo. 

3^a Pista Na figura abaixo, examine os dois triângulos que têm x e y como bases e têm a mesma altura. 

Com estas pistas poderá o estudante demonstrar o Teorema da Bissetriz Externa.
Já faziam alguns anos que morava em São Carlos quando recebi a notícia do falecimento do Professor Forlani. Dedico este pequeno texto à sua memória. Suas lições não se resumiam à Geometria: era um filósofo. Assim como Sócrates, não precisava de uma sala de aula para ensinar. Onde ele estiver, deve estar ensinando! Ao Professor Forlani meu muito obrigado.

PS: deixo mais um enigma para o estudante, pois a um bom detetive não escapa nenhum detalhe. Por que o enunciado do Teorema da Bissetriz Externa começa assim: Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intersecta... em vez de simplesmente dizerA bissetriz de um ângulo externo de um triângulo divide o lado oposto...
Apresentado para publicação em 21/11/2002 por Robinson Antão da Cruz Filho, estudante do Curso de Matemática Noturno da UFSCar. As figuras foram construídas pelo autor. Preparado para publicação na Internet por Roberto R. Paterlini, do DM-UFSCar. 
Publicado em 14/04/2003. Atualizado em 14/04/2003.